数学物理方程 - 8.29 磨光函数的收敛性 && 截断函数

前置补充 - 重积分的分部积分法

本节需要使用到重积分的分部积分法进行证明，所以接下来给出重积分分部积分法的一个说明.

对于二重积分，在封闭区域 $D$ 上我们有 Green 公式：

$${\int }_{\partial D}f\mathrm{d}x+g\mathrm{d}y={\iint }_D({\partial }_{x}g-{\partial }_{y}f)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\text{\hspace{1em}(Green)}$$

我们在 (Green) 当中，令 $f=uv,g=0$ 有

$${\iint }_D{u}_{x}v\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_{\partial D}uv\mathrm{d}x-{\iint }_{D}u{v}_x\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

我们不难发现其作用：它可以在重积分当中更换微分算子作用的函数. 三维情形下，利用 Gauss 公式可得三重积分的分部积分公式. 一般地，我们直接将其推广到 ${\mathbb{R}}^n$ 上有

$${\int }_{\Omega }({\partial }_{x_i}u)v\mathrm{d}x={\int }_{\partial \Omega }uv\mathrm{d}{x}_i-{\int }_{\Omega }u({\partial }_{x_i}v)\mathrm{d}x\text{\hspace{1em}(§)}$$

其中 $x\in {\mathbb{R}}^n$ 且 $x=(x_1,\cdots ,x_n)$ ，$\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 为封闭区域.

我们将在之后的证明中用到 $(\S )$ 式.

磨光函数

磨光操作及磨光函数性质

磨光操作

设 $f(x)\in C_0({\mathbb{R}}^n)$ ，可令 $f_{\epsilon }(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(y){\Phi }_{\epsilon }(x-y)\mathrm{d}y.$ 从而 $f_{\epsilon }(x)$ 就是我们需要的结果函数，即 $f_{\epsilon }(x)\in C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ ，且在 $\epsilon \to 0$ 时一致收敛于 $f$.

现在我们依次证明证明上述结论. 先证明 $f_{\epsilon }\in C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ .

首先，我们需要证明 $f_{\epsilon }(x)$ 是良定义的，由于 $f(y)$ 具有紧支集且连续，且 ${\Phi }_{\epsilon }(x-y)\in C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ ，则有

$$f_{\epsilon }(x)={\int }_{\mathrm{supp}(f)\cap \mathrm{supp}({\Phi }_{\epsilon })}f(y){\Phi }_{\epsilon }(x-y)\mathrm{d}y$$

积分区域为紧集，且积分函数为连续函数，因此 Lebesgue 积分的意义下显然是有意义的.

其次，证明 $f_{\epsilon }(x)$ 是无穷次可导的，根据控制收敛定理可换序有

$${\partial }_x^{\alpha }{f}_{\epsilon }(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(y){\partial }_x^{\alpha }{\Phi }_{\epsilon }(x-y)\mathrm{d}y$$

因此根据 ${\Phi }_{\epsilon }(x-y)\in C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ ，可知 $f_{\epsilon }\in C^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ .

最后考察其支集 $\mathrm{supp}(f_{\epsilon })$，即考虑如下两个限制条件：记 $K:=\mathrm{supp}(f)$ 有

$$\{\begin{array}{l}y\in K\\ x-y\in \mathrm{supp}({\Phi }_{\epsilon })\end{array}$$

上述两个式子合并有：

$$\mathrm{supp}(f_{\epsilon })=\left\{x:\mathrm{dist}(x,K)⩽\epsilon \right\}$$

简记为 $K_{\epsilon }$ ，故其具有紧支集.

磨光函数的收敛性

接下来我们证明 $f_{\epsilon }\to f,(\epsilon \to 0)$ ，注意这里的收敛性是 $C_0^{\infty }$ 当中的收敛性，也就是本来的函数与各阶导数均一致收敛于 $f$ . 更严谨地说，就是证明如下的定理：

定理

如果 $f\in C^k({\mathbb{R}}^n)$ ，则在任意紧集 $K$ 上一致地有 ${\lim }_{\epsilon \to 0}{\partial }_x^{\alpha }{f}_{\epsilon }(x)={\partial }_x^{\alpha }f(x),|\alpha |⩽k$ 若进一步设 $f\in C_0^k({\mathbb{R}}^n)$ ，则 $\mathrm{supp}(f_{\epsilon })\subset \left\{x:\mathrm{dist}(x,\mathrm{supp}(f))⩽\epsilon \right\}$

其中第二个结论在刚才讨论时已经证明.

磨光函数的收敛性1

若 $f\in C({\mathbb{R}}^n)$ ，则在任意紧集 $K$ 上一致成立 $f_{\epsilon }\to f,\epsilon \to 0$ .

注意

若 $f$ 具有紧支集，则可取 $K=\mathrm{supp}(f)$.

取 ${\epsilon }_0>0$ ，令

$$K_{{\epsilon }_0}=\left\{x:\mathrm{dist}(x,K)⩽{\epsilon }_0\right\}$$

设

$$\tilde{f}(x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& x\in K_{{\epsilon }_0}\\ 0,& x\notin K_{{\epsilon }_0}\end{array},\mathrm{supp}(\tilde{f})\subseteq K_{{\epsilon }_0}$$

这并不是一个光滑函数，所以我们要对其进行磨光操作（由于 $f$ 可磨光所以 $\tilde{f}$ 可磨光），即

$${\tilde{f}}_{\epsilon }(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\tilde{f}(y){\Phi }_{\epsilon }(x-y)\mathrm{d}y$$

令 $\epsilon \in (0,{\epsilon }_0)$ ，根据磨光函数性质有：

$${\tilde{f}}_{\epsilon }\in C_0^{\infty },\mathrm{supp}({\tilde{f}}_{\epsilon })\subset K_{{\epsilon }_0+\epsilon }\subset K_{2{\epsilon }_0}$$

接下来我们只需估计

$$\left|{\tilde{f}}_{\epsilon }(x)-f(x)\right|$$

即可，这是因为在 $K$ 上，$f_{\epsilon }={\tilde{f}}_{\epsilon }$ ，利用磨光核的积分为 $1$ ，我们有

$$\begin{array}{rl}|{\tilde{f}}_{\epsilon }(x)-f(x)|& =\left|{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\tilde{f}(y){\Phi }_{\epsilon }(x-y)\mathrm{d}y-{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x){\Phi }_{\epsilon }(x-y)\mathrm{d}y\right|\\ & =\left|{\int }_{{\mathbb{R}}^n}[\tilde{f}(y)-f(x)]{\Phi }_{\epsilon }(x-y)\mathrm{d}y\right|\\ & ⩽\underset{|x-y|⩽\epsilon ;x,y\in K}{\max }|\tilde{f}(y)-f(x)|{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\Phi }_{\epsilon }(x-y)\mathrm{d}y\\ & =\underset{|x-y|⩽\epsilon ;x,y\in K}{\max }|f(y)-f(x)|\to 0\end{array}$$

其中，最后一步的趋向于 $0$ 是根据 $f(x)$ 一致连续得到的（紧集 $K$ 上的连续函数一定一致连续）. 故上述的收敛具有一致性，从而命题成立. $\square$

最后利用上述思想，我们可最终证明该定理.

磨光函数的收敛性2

设 $f\in C^k({\mathbb{R}}^n)$ ，在任意给定的紧集 $K$ 上，$\forall \alpha \in {\mathbb{N}}^n$ ，$|\alpha |⩽k$ ，一定存在 $f_{\epsilon }(x)\in C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ 且 ${\partial }_x^{\alpha }{f}_{\epsilon }(x)\to {\partial }_x^{\alpha }f(x),\epsilon \to 0$

还是利用刚才的想法估计

$$|{\partial }_x^{\alpha }{\tilde{f}}_{\epsilon }(x)-{\partial }_x^{\alpha }f(x)|$$

利用控制收敛定理进行换序有

$$\begin{array}{rl}& |{\partial }_x^{\alpha }{\tilde{f}}_{\epsilon }(x)-{\partial }_x^{\alpha }f(x)|\\ & =\left|{\partial }_x^{\alpha }{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\tilde{f}(y){\Phi }_{\epsilon }(x-y)\mathrm{d}y-[{\partial }_x^{\alpha }f(x)]{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\Phi }_{\epsilon }(x-y)\mathrm{d}y\right|\\ & =\left|{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\tilde{f}(y){\partial }_x^{\alpha }{\Phi }_{\epsilon }(x-y)\mathrm{d}y-{\int }_{{\mathbb{R}}^n}[{\partial }_x^{\alpha }f(x)]{\Phi }_{\epsilon }(x-y)\mathrm{d}y\right|\end{array}$$

我们能发现微分算子符号不在同样的位置，利用刚才的方法就将出现问题，此时利用 $(\S )$ 式进行分部积分，对第一个积分进行分部积分有

$$\begin{array}{rl}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\tilde{f}(y){\partial }_x^{\alpha }{\Phi }_{\epsilon }(x-y)\mathrm{d}y& =(-1{)}^{|\alpha |}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\tilde{f}(y){\partial }_y^{\alpha }{\Phi }_{\epsilon }(x-y)\mathrm{d}y\\ & \stackrel{(\S )}{=}(-1{)}^{|\alpha |}(-1{)}^{|\alpha |}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}[{\partial }_y^{\alpha }\tilde{f}(y)]{\Phi }_{\epsilon }(x-y)\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}[{\partial }_x^{\alpha }\tilde{f}(x)]{\Phi }_{\epsilon }(x-y)\mathrm{d}y\end{array}$$

在分部中，由于 ${\Phi }_{\epsilon }(x-y)\in C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ ，故 ${\Phi }_{\epsilon }{|}_{\partial \Omega }=0$ ，于是曲线积分的那一项就消掉了. 此外，尽管 $(\S )$ 要求封闭区域而 ${\mathbb{R}}^n$ 是不封闭的，但是上面的积分区域实际上可缩写为 $\mathrm{supp}(\tilde{f})$ ，这是一个有界闭集.

接下来的操作和上一个命题的最后部分就是一致的了，命题从而得证. $\square$

截断函数

接下来讨论截断函数 (cut-off function) 及其应用，它在 PDE 当中是非常常用的函数.

截断函数的定义

定义：截断函数 (cut-off function)

设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是开集，$K\subset \subset \Omega$ 为紧子集，截断函数 $f$ 是满足如下两个条件的函数：

1. $f(x)\in C_0^{\infty }(\Omega )$，且
2. 对于固定的 ${\epsilon }_0>0$ ，有 $f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in K\\ 0,& x\notin K_{2{\epsilon }_0}\end{array}$

定义出来一个截断函数具有什么作用呢？如果我们将其用乘法作用到函数上，例如对 $\phi (x)\in C^k(\Omega )$ ，对截断函数 $f\in C_0^{\infty }(\Omega )$ ：

$$\psi :=f\cdot \phi =\{\begin{array}{ll}\phi ,& x\in K\\ 0,& x\notin K_{2\epsilon }\end{array}$$

我们发现我们截取了 $K$ 上的 $\phi$ 函数值，并且还保留了它的光滑可导性，这就是截断函数的用处.

除此之外，我们还可以构想一下截断函数的一个形状，例如 $n=1$ 时，截断函数就类似下图所示.

当 $n=2$ 时，也是类似的图形，可以看作一个光滑的“平顶蛋糕”.

截断函数的构造

还是刚才的思路，对于截断函数，它具有良好的性质，那么它是否存在？存在性问题的解决方法依然是构造出一个这样的函数.

根据截断函数的表达式，我们可以自然地联想到如下的示性函数：

$${\chi }_K(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in K\\ 0,& x\notin K\end{array}$$

但它并不满足光滑的条件，于是磨光操作就是非常自然的了：

$$f(x)={\int }_{\Omega }{\chi }_K(y){\Phi }_{\epsilon }(x-y)\mathrm{d}y\text{\hspace{1em}(cut-off)}$$

其中 $K\subset \subset \Omega$ ，于是 $f(x)$ 就是我们需要的截断函数，下面我们来证明这一点.

• $f\in C_0^{\infty }(\Omega )$ .

这个是磨光操作得到的函数的显然性质.

• $f(x)$ 在 $K$ 中取值为 $1$ ，在 $K_{2\epsilon }$ 外取值为 $0$ .

在 $x\in K$ 时，有

$$f(x)={\int }_K{\Phi }_{\epsilon }(x-y)\mathrm{d}y=1$$

当 $x\notin K_{2{\epsilon }_0}$ 时，当 $y\in K_{\epsilon }$ 时，$|x-y|>\epsilon$ ，从而 ${\Phi }_{\epsilon }(x-y)=0$ . 当 $y\notin K_{\epsilon }$ 时，${\chi }_K(y)=0$ ，因此 $f(x)=0$ .

由此我们证明了式 (cut-off) 构造出的 $f(x)$ 为截断函数.

截断函数的运算

先讨论截断函数的微分运算，我们下面沿用 $(\text{cut-off})$ 来讨论截断函数的微分，事实上，截断函数的微分可以单纯被微分的重指标限制起来.

定理：截断函数的微分不等式

对于重指标 $\alpha \in {\mathbb{N}}^n$ 和截断函数 $f(x)$ ，有 $|{\partial }_x^{\alpha }f(x)|<C_{\alpha }{\epsilon }^{-|\alpha |}$ 其中 $C_{\alpha }$ 为只与 $\alpha$ 有关的常数.

首先我们考虑磨光核是如下的展开

$${\Phi }_{\epsilon }(x-y)=\frac{1}{c_1{\epsilon }^n}{\Phi }_1\left(\frac{x-y}{\epsilon }\right)$$

从而我们有

$$\begin{array}{rl}{\partial }_x^{\alpha }f(x)& ={\partial }_x^{\alpha }{\int }_{\Omega }{\chi }_K(y){\Phi }_{\epsilon }(x-y)\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{\Omega }{\chi }_K(y){\partial }_x^{\alpha }\left(\frac{1}{c_1{\epsilon }^n}{\Phi }_1\left(\frac{x-y}{\epsilon }\right)\right)\mathrm{d}y\\ & =\frac{1}{c_1{\epsilon }^n}{\int }_{\Omega }{\chi }_K(y){\partial }_x^{\alpha }{\Phi }_1\left(\frac{x-y}{\epsilon }\right)\mathrm{d}y\\ & ={\epsilon }^{-|\alpha |}\frac{1}{c_1{\epsilon }^n}{\int }_{\Omega }{\chi }_K(y){\Phi }_1^{(\alpha )}\left(\frac{x-y}{\epsilon }\right)\mathrm{d}y\end{array}$$

那么取绝对值后有

$$\begin{array}{rl}|{\partial }_x^{\alpha }f(x)|& ⩽\left|{\epsilon }^{-|\alpha |}\frac{1}{c_1{\epsilon }^n}{\int }_{\Omega }{\Phi }_1^{(\alpha )}\left(\frac{x-y}{\epsilon }\right)\right|\mathrm{d}y\\ & \stackrel{\tau =\frac{x-y}{\epsilon }}{=}\left|{\epsilon }^{-|\alpha |}\frac{1}{c_1{\epsilon }^n}{\int }_{\Omega }{\epsilon }^n{\Phi }_1^{(\alpha )}(\tau )\mathrm{d}\tau \right|\\ & ⩽{\epsilon }^{-|\alpha |}{C}_{\alpha }\end{array}$$

其中

$$C_{\alpha }=\frac{1}{c_1}{\int }_{\Omega }{\Phi }_1^{(\alpha )}(\tau )\mathrm{d}\tau$$

只与 $\alpha$ 有关. $\square$

作业

本堂课无作业.